Question

6．已知：CD为△ABC的外角平分线，交△ABC的外接圆O于D．
（1）如图1，连接OA，OD，求证：∠AOD=2∠BCD；
（2）如图2，若CB平分∠ACD，求证：AB=BD；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为$\frac{2\sqrt{15}}{3}$，tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接BD，由圆周角定理可知∠ABD=2∠ABD，要证明∠AOD=2∠BCD，即证明∠ABD=∠BCD，由圆内接四边形的性质和角平分线即可知∠HCD=∠BCD=∠ABD；
（2）由CB平分∠ACD可知∠ACB=∠DCB，所以$\widehat{AB}=\widehat{BD}$，从而可得AB=BD；
（3）由（2）可知△ABD是等边三角形，且⊙O的半径为$\frac{2\sqrt{15}}{3}$，所以AB的长度可求，连接OC并延长交⊙O于点E，连接AE，所以CE=$\frac{4\sqrt{15}}{3}$，利用tan∠ABC=tan∠E可求得AC的长度，设CN=x，由因为tan∠ABC=tan∠CDA，所以DN=2x，利用勾股定理列出方程即可求得x，进而求得CD的长度．

解答 解：（1）如图1，连接BD，
∵CD为△ABC的外角平分线，
∴∠HCD=∠BCD，
∵∠HCD=∠ABD，
∴∠ABD=∠BCD，
∵∠AOD=2∠ABD，
∴∠AOD=2∠BCD；

（2）∵CB平分∠ACD，
∴∠ACB=∠DCB，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BD}$，
∴AB=BD；

（3）连接OC并延长交⊙O于点E，连接AE，
过点O作OM⊥AB于点M，
过点C作CN⊥AD于点N，
由（2）可知：∠HCD=∠DCB=∠ACB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠AOM=60°，
∵OA=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$，
∴sin∠AOM=$\frac{AM}{OA}$，
∴AM=$\sqrt{5}$，
∴由垂径定理可知：AB=2AM=2$\sqrt{5}$，
∴AD=AB=2$\sqrt{5}$，
∵∠CEA=∠ABC，
∴tan∠CEA=tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，
∴sin∠CEA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{AC}{CE}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AC=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∵∠CDA=∠ABC，
∴tan∠CDA=$\frac{1}{2}$，
设CN=x，则DN=2x，
∴AN=2$\sqrt{5}$-2x，
∵由勾股定理可知：AC²=AN²+CN²，
∴$（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}$=（2$\sqrt{5}$-2x）²+x²
∴x=$\frac{12\sqrt{5}+2\sqrt{15}}{15}$或x=$\frac{12\sqrt{5}-2\sqrt{15}}{15}$，
当x=$\frac{12\sqrt{5}+2\sqrt{15}}{15}$时，
∴DN=2x=$\frac{24\sqrt{5}+4\sqrt{15}}{15}$$＞2\sqrt{5}$，
∴CN=$\frac{12\sqrt{5}-2\sqrt{15}}{15}$，
∵CD=$\sqrt{5}$x，
∴CD=$\frac{12-2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识，考查学生灵活运用知识的能力，解决本题的关键是连接OC并延长交⊙O于点E，连接AE构造直角△ACE．