Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C（0，2）．直线DB交y轴于点D，交抛物线于点P（$4\sqrt{3}，-6$）．
（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）点E是抛物线上的动点，若以A，B，P，E为顶点的四边形仅有一组对边平行，求点E的坐标；
（3）连接AP，点F在直线AP上，设点F到直线DB的距离为m，点F到点D的距离为n，求m+n的最小值．

Answer 1

分析 （1）设抛物线顶点式解析式y=ax²+1，然后把点P的坐标代入进行计算即可得解；求出抛物线与x轴的交点A、B，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线DB的解析式，令x=0求出y的值即可得到点D的坐标；
（2）根据四边形仅有一组对边平行，分①AP∥BE，求出直线AP的解析式，再根据平行直线的解析式的k值相等求出直线BE的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点E的坐标；②AB∥PE，根据抛物线的对称性可得点E与点P关于y轴对称；③BP∥AE，根据平行直线的解析式的k值相等求出AE的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点E的坐标；
（3）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，根据点A、B、P的坐标可以求出∠APM=60°，∠BPM=30°，∠APN=30°，然后求出PA是∠BPN的平分线，过点F作FH⊥PN于点H，连接DF、DH，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FH=m，根据三角形的三边关系可得当点D、F、H三点共线时，m+n的值最小，此时，点F为直线AP与y轴的交点，m+n=PN，然后求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线顶点为C（0，2），
∴设抛物线的解析式是y=ax²+2，
又∵点P（4$\sqrt{3}$，-6）在抛物线上，
∴a（4$\sqrt{3}$）²+2=-6，
解得a=-$\frac{1}{6}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{6}$x²+2；
令y=0，则-$\frac{1}{6}$x²+2=0，
解得x₁=-2$\sqrt{3}$，x₂=2$\sqrt{3}$，
∴点A（-2$\sqrt{3}$，0），点B（2$\sqrt{3}$，0），
设直线DP的解析式为y=kx+b，
则 $\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}k+b=0}\\{4\sqrt{3}k+b=-6}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线DP的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+6，
令x=0，则y=6，
所以，点D的坐标为（0，6）；

（2）①AP∥BE时，设直线AP的解析式为y=ex+f，
则 $\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{3}e+f=0}\\{4\sqrt{3}e+f=-6}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{e=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{f=-2}\end{array}\right.$，
所以，直线AP的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2，
设直线BE的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+g，
则-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2$\sqrt{3}$+g=0，
解得g=2，
所以，直线BE的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2，
 解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2}\\{y=-{\frac{1}{6}x}^{2}+2}\end{array}\right.$得 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2\sqrt{3}}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$（为点B的坐标），
所以点E的坐标为（0，2）；
②AB∥PE时，∵抛物线关于y轴对称，
∴点E为点P（4$\sqrt{3}$，-6）关于y轴的对称点，
∴点E（-4$\sqrt{3}$，-6）；
③BP∥AE时，∵直线DP的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+6，
∴设直线AE的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+h，
则-$\sqrt{3}$×（-2$\sqrt{3}$）+h=0，
解得h=-6，
∴直线AE的解析式为y=-$\sqrt{3}$x-6，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x-6}\\{y=-\frac{1}{6}{x}^{2}+2}\end{array}\right.$，得 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=8\sqrt{3}}\\{{y}_{1}=-30}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2\sqrt{3}}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$（为点A坐标），
所以，点E坐标为（8$\sqrt{3}$，-30），
综上所述，点E坐标为（0，2），（-4$\sqrt{3}$，-6），（8$\sqrt{3}$，-30）；

（3）如图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∵A（-2$\sqrt{3}$，0），B（2$\sqrt{3}$，0），P（4$\sqrt{3}$，-6），
∴tan∠APM=$\frac{AM}{PM}$=$\frac{6\sqrt{3}}{6}$=$\sqrt{3}$，
tan∠BPM=$\frac{BM}{PM}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠APM=60°，∠BPM=30°，
∴∠APB=∠APM-∠BPM=60°-30°=30°，
又∵PN∥AM，
∴∠APN=∠PAM=90°-60°=30°，
∴∠APB=∠APN，
点F在直线AP上，过点F作FH⊥PN于点H，根据角平分线的性质可得FH=m，
连接DF、DH，根据三角形的三边关系，DF+FH＞DH，
即m+n＞DH，
所以，当点D、F、H三点共线时，m+n的最小值，
此时，点F为直线AP与y轴的交点，点H、N重合，
最小值m+n=6-（-6）=6+6=12．

点评 本题是二次函数的综合题型，主要涉及待定系数法求函数解析式（二次函数与直线解析式），梯形的对边平行的性质，解直角三角形求锐角的度数，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，以及三角形的三边关系，（1）利用顶点式解析式求解比较简单，（2）要注意分底边的不同进行讨论，（3）根据求出的角度的相等的角，利用角平分线的性质是解题的关键．