Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若AB＝3，AC＝4，求线段PB的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）PB＝.

【解析】

（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证；

（2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P＝∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似；由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理求出BC的长，再由OD垂直平分BC，得到DB＝DC，相似三角形的性质，得比例，求出所求即可．

（1）证明：∵圆心O在BC上，

∴BC是圆O的直径，

∴∠BAC＝90°，

连接OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠DAC，

∵∠DOC＝2∠DAC，

∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC，

∵PD∥BC，

∴OD⊥PD，

∵OD为圆O的半径，

∴PD是圆O的切线；

（2）∵PD∥BC，

∴∠P＝∠ABC，

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠P＝∠ADC，

∵∠PBD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，

∴∠PBD＝∠ACD，

∴△PBD∽△DCA；

∵△ABC为直角三角形，

∴BC2＝AB2+AC2＝32+42＝25，

∴BC＝5，

∵OD垂直平分BC，

∴DB＝DC，

∵BC为圆O的直径，

∴∠BDC＝90°，

在Rt△DBC中，DB2+DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝25，

∴DC＝DB＝，

∵△PBD∽△DCA，

∴，

则PB＝．