Question

2．为了解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我们可以将x²-1看成一个整体，设x²-1=y，则（x²-1）²=y²，那么原方程可化为y²-5y+4=0，解得y₁=1，y₂=4；当y=1时，x²-1=1，x²=2，x=±$\sqrt{2}$，当y=4时，x²-1=4，x²=5，x=±$\sqrt{5}$，故原方程的解为x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，x₃=$\sqrt{5}$，x₄=-$\sqrt{5}$，这种方法称为换元法．
（1）借鉴上面的方法解方程：（$\frac{x}{x-1}$）²+$\frac{5x}{x-1}$+6=0
（2）解方程$\frac{x+1}{{x}^{2}}$-$\frac{2{x}^{2}}{x+1}$=1，设y=$\frac{x+1}{{x}^{2}}$，则原方程可化为关于y的方程是y-$\frac{2}{y}$=1．

Answer 1

分析 （1）设y=$\frac{x}{x-1}$，则原方程可化为y²+5y+6=0，解之可得y的值，继而可得关于x的方程，解之可得答案；
（2）用y替代方程当中的$\frac{x+1}{{x}^{2}}$即可得．

解答 解：（1）设y=$\frac{x}{x-1}$，则原方程可化为y²+5y+6=0，解得：y₁=-2，y₂=-3，
当$\frac{x}{x-1}$=-2时，解得x=$\frac{2}{3}$，经检验x=$\frac{2}{3}$符合题意；
当$\frac{x}{x-1}$=-3时，解得x=$\frac{3}{4}$，经检验x=$\frac{3}{4}$符合题意；
∴原方程的解为x₁=$\frac{2}{3}$，x₂=$\frac{3}{4}$；

（2）设y=$\frac{x+1}{{x}^{2}}$，则原方程可化为关于y的方程是y-$\frac{2}{y}$=1，
故答案为：y-$\frac{2}{y}$=1．

点评 本题主要考查换元法解方程，解题的关键是把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化．