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如图①,已知等腰梯形ABCD的周长为48,面积为S,AB∥CD,∠ADC=60°,设AB=3x.

(1)用x表示AD和CD;

(2)用x表示S,并求S的最大值;

(3)如图②,当S取最大值时,等腰梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上,点E和点F分别是AB和CD的中点,求⊙O的半径R的值.


解:(1)作AH⊥CD于H,BG⊥CD于G,如图①,

则四边形AHGB为矩形,

∴HG=AB=3x,

∵四边形ABCD为等腰梯形,

∴AD=BC,DH=CG,

在Rt△ADH中,设DH=t,

∵∠ADC=60°,

∴∠DAH=30°,

∴AD=2t,AH=t,

∴BC=2t,CG=t,

∵等腰梯形ABCD的周长为48,

∴3x+2t+t+3x+t+2t=48,解得t=8﹣x,

∴AD=2(8﹣x)=18﹣2x,

CD=8﹣x+3x+8﹣x=16+x;

(2)S=(AB+CD)•AH

=(3x+16+x)•(8﹣x)

=﹣2x2+8x+64

∵S=﹣2(x﹣2)2+72

∴当x=2时,S有最大值72

(3)连结OA、OD,如图②,

当x=2时,AB=6,CD=16+2=18,等腰梯形的高为×(8﹣2)=6

则AE=3,DF=9,

∵点E和点F分别是AB和CD的中点,

∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴,

∴EF垂直平分AB和CD,EF为等腰梯形ABCD的高,即EF=6

∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上,

设OE=a,则OF=6﹣a,

在Rt△AOE中,

∵OE2+AE2=OA2

∴a2+32=R2

在Rt△ODF中,

∵OF2+DF2=OD2

∴(6﹣a)2+92=R2

∴a2+32=(6﹣a)2+92,解得a=5

∴R2=(52+32=84,

∴R=2


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已知m,n是方程x2﹣x﹣1=0的两实数根,则+的值为(  )

 

A.

﹣1

B.

C.

D.

1

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第二次操作:将线段FG绕点G顺时针旋转,当点F落在正方形上时,记为点H;

依次操作下去…

(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的,其形状为   ,求此时线段EF的长;

(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.

①请判断四边形EFGH的形状为   ,此时AE与BF的数量关系是   

②以①中的结论为前提,设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x的函数关系式及面积y的取值范围;

(3)若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形,其最大边数是多少?它可能是正多边形吗?如果是,请直接写出其边长;如果不是,请说明理由.

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(1)求一次函数的表达式;

(2)求反比例函数的表达式.

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下列计算正确的是(  )

 

A.

a+a2=a3

B.

(3a)2=6a2

C.

a6÷a2=a3

D.

a2•a3=a5

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A.

1.5×104

B.

1.5×105

C.

1.5×106

D.

15×104

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