Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0）和C（0，-3），线段BC与抛物线的对称轴相交于点P．M、N分别是线段OC和x轴上的动点，运动时保持∠MPN=90°不变．连结MN，设MC=m．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）用含m的代数式表示△PMN的面积S，并求S的最大值；
（3）以PM、PN为一组邻边作矩形PMDN，当此矩形全部落在抛物线与x轴围成的封闭区域内（含边界）时，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0）和C（0，-3），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
∴抛物线的解析式是y=x²-2x-3；

（2）作PE⊥y轴于点E，设抛物线的对称轴与x轴相交于点F，
易得抛物线的对称轴为直线x=1，直线BC的解析式为y=x-3，
∴P（1，-2），
∴E（0，-2），ME=|m-1|，
∴PM=

PE2+ME2

=

m2-2m+2

，
∵∠MPN=90°，∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
又∵∠PEM=∠PFN=90°，
∴△MPE∽△NPF，
∴

PN

PM

=

PF

PE

，
∴PN=2PM，
∴S=

1

2

PM•PN=m2-2m+2，
∵0≤m≤3，
∴当m=3时，S有最大值，最大值是5；

（3）①当点D在x轴上时，点D、M显然分别与点O、E重合，
此时，m=1；
②当点D在抛物线上时（如图2），作DG⊥x轴于点G，
∠MPE+∠NPE=90°，∠NPE+∠NPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
又∵∠DNG+∠PNF=90°，∠NPF+∠PNF=90°，
∴∠DNG=∠NPF，
∴∠MPE=∠DNG，
在△MPE和△DNG中，

∠MPE=∠DNG ∠MEP=∠DGN MP=DN

，
∴△MPE≌△DNG（AAS），
∴DG=ME=1-m，NG=PE=1，
由（2）得：

NF

ME

=

PF

PE

，故NF=2ME=2-2m，
∴OG=1-ON=NF=2-2m，
∴D（2m-2，m-1），
代入抛物线解析式得：m-1=（2m-2）²-2（2m-2）-3，
整理得：4m²-13m+6=0，
解得：m1=

13- 73

8

，m2=

13+ 73

8

（不合题意，舍去），
∴m=

13- 73

8

时，点D恰好在抛物线上，
∴当

13- 73

8

≤m≤1时，此矩形全部落在抛物线与x轴围成的封闭区域内．