Question

如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
（1）求证：PA=PC．
（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF，可得PN=PM，则易证四边形EMFN是平行四边形，则可得ME=FN，∠EMA=∠CNF，即可证得△EAM≌△FCN，则可得PA=PC；
（2）由PA=PC，EP=PF，可证得四边形AFCE为平行四边形，易得△PED≌△PFB，则可得四边形ABCD为平行四边形，由AB=15，AD=12，∠DAB=60°，即可求得四边形ABCD的面积．
解答：（1）证明：在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF．
∵AP+AE=CP+CF，
∴PN=PM．
∵PE=PF，
∴四边形EMFN是平行四边形．
∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．
又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，
∴△EAM≌△FCN．
∴AM=CN．
∵PM=PN，
∴PA=PC．

（2）解：∵PA=PC，EP=PF，
∴四边形AFCE为平行四边形．
∴AE∥CF．
∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，
∴△PED≌△PFB．
∴DP=PB．
由（1）知PA=PC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，
∴四边形ABCD的面积为90．
点评：此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．