Question

如图，开口向上的抛物线y=ax²+2ax-c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A在x轴的正半轴，点B在x的负半轴，OB=OC．
（1）求证：ac-2a=1；
（2）如果点A的坐标为（1，0），求点B的坐标；
（3）在（2）的条件下，问此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了OB=OC=-c，因此B点坐标为（-c，0），将其代入抛物线的解析式中，即可得出所要证的条件．
（2）根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴为x=-1，由于A、B同为抛物线与x轴的交点，因此这两点关于抛物线对称，由此可求出B点的坐标．
（3）本题的关键是确定P点的位置，由于A、B关于抛物线对称轴对称，因此连接BC，直线BC与抛物线对称轴的交点即为P点（依据轴对称图形的性质和两点间线段最短）．先求出直线BC的解析式，然后将抛物线对称轴解析式代入直线BC中即可求得P点坐标．（也可通过相似三角形来求解）

解答：（1）证明：∵C（0，-c），OB=OC，
∴B（-c，0）
∵B（-c，0）在抛物线上，
∴ac²-2ac-c=0，
即：ac-2a=1．
（2）解：由题意可知抛物线的对称轴为x=-1，A（1，0）
∴B（-3，0）．
（3）解：存在，连接BC，BC与对称轴的交点即为P点．
设对称轴于x轴的交点为F，则△BPF∽△BCO，
即：

BF

BO

=

FP

OC

，

2

3

=

OP

3

；
∴OP=2；
∴P（-1，-2）．

点评：本题考查了抛物线的性质、三角形相似、函数图象交点等知识．