Question

已知：如图，在□ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．
（1）求证：BE=DG；
（2）若∠BCD=120°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．

Answer 1

（1）证明见解析；（2），证明见解析.

试题分析：（1）根据平移的性质，可得：BE=FC，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：DG=FC；即可得到BE=DG.
（2）要使四边形ABFG是菱形，须使AB=BF；根据条件找到满足AB=BF的AB与BC满足的数量关系即可．
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB="CD" , AD//BC.
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成，
∴GC⊥BC, ∴CG⊥AD．∴∠AEB=∠CGD=90?．
∵AE=CG，∴Rt△ABE≌Rt△CDG．∴BE=DG．
（2）当时，四边形ABFG是菱形．证明如下：
∵GF是由AB沿BC方向平移而成，
∴AB//GF，且AB=GF，∴四边形ABFG是平行四边形．
∵在□ABCD中，∠BCD=120°,  ∴∠B=60°．∴∠BAE=30°.
∴Rt△ABE 中，（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半）．
又∵，∴ ．∴AB=BF．
∴四边形ABFG是菱形．