Question

10．如图，⊙M的圆心M在x轴上，⊙M分别交x轴于点A、B（A在B的左边），交y轴的正半轴于点C，弦CD平行于x轴交⊙M于点D，已知A、B两点的横坐标分别是方程x²=4（x+3）的两个根．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）求过A、B、D三点的抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）解方程求出两个根，从而得到点A、B的坐标，然后求出点M的坐标与圆的半径，连接CM，在Rt△CMO中，利用勾股定理列式求出OC的长度，即可写出点C的坐标；
（2）过点M作ME⊥CD，根据垂径定理可得CD=2CE=2OM，然后得到点D的坐标，再根据待定系数法即可求出直线AD的解析式；
（3）根据A、B、D三点的坐标利用待定系数法确定抛物线的解析式即可；

解答 解：（1）方程x²=4（x+3）整理得，
x²-4x-12=0，
即（x+2）（x-6）=0，
∴x+2=0，x-6=0，
解得x=-2，或x=6，
∴点A、B的坐标分别为：A（-2，0），B（6，0），
（-2+6）÷2=2，[6-（-2）]÷2=4，
∴点M的坐标是（2，0），⊙M的半径是4，
连接CM，则OC=$\sqrt{C{M}^{2}-O{M}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴点C的坐标是（0，2$\sqrt{3}$）；

（2）如图1，过点M作ME⊥CD，
则CE=ED=$\frac{1}{2}$CD，
∵CD∥x轴，
∴ME⊥x轴，
∴四边形OMEC是矩形，
∴CE=OM=2，
∴CD=4，
点D的坐标是（4，2$\sqrt{3}$），
设直线AD的解析式是y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{4k+b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式是y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（3）设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{36a+6b+c=0}\\{16a+4b+c=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{6}}\\{b=\frac{\sqrt{3}}{6}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{6}$x+$\sqrt{3}$．

点评 本题综合考查一次函数的问题，利用了一元二次方程的解法，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，综合性较强，但难度不大，仔细分析图形并熟练掌握定理与性质是解题的关键．