Question

如图①，O是矩形ABCD的边AB上一点，以O为圆心、OB为半径作半圆，交BD于E、交AB于F，连接EF．
（1）证明：BA•BF=BD•BE；
（2）设AD=1，AB=x，CD与半圆O相切（如图②）时，△BEF与△BAD面积的比值为y，将y表示成x的函数；并求E恰好为BD的中点时，y的值（分母可保留根式）．
 

Answer 1

分析：（1）根据圆的性质及相似三角形对应边成比例的性质，即可得出结论，
（2）涉及研究线段与线段函数关系的问题，线段作为变量，解题的关键是用几何定理揭示它们之间的等量关系，列出方程后，再化为函数解析式即可．

解答：（1）证明：∵BF是半圆O的直径，点E在圆周上，
∴∠BEF=90°，
在Rt△BEF和Rt△BAD中，∠BEF=∠BAD=90°，∠EBF=∠ABD，
∴△BAD∽△BEF，
∴

BA

BE

=

BD

BF

，
即BA•BF=BD•BE；

（2）解：∵CD与⊙O相切，
∴⊙O的半径r=AD=1，
由（1）知，y=

BF2

BD2

，
∴y=

4

1+x2

，
当E为BD的中点时，由（1）知，2x=

1

2

1+x2

×

1+x2

=

1+x2

2

，
∴x²-4x+1=0，
解得x=2+

3

、x=2-

3

（舍去），
∴y=

1

2+ 3

．

点评：本题主要考查了相似三角形对应边成比例的性质为等量关系，需要列出方程后，再化为函数解析式，难度适中．