Question

11、试证明：在数2-1，2²-1，2³-1，…，2^n-1-1中，至少有一个数能被n整除，这里n是大于1的奇数．

Answer 1

分析：先根据n是大于1的奇数设出n的值，即n=2k+1（k是不等于0的自然数），把n的值代入2^n-1-1中可得到
2^n-1-1=2^2k-1=（2^k-1）（2^k+1），再求出当2^k-1=2k+1或2^k=2k时k为大于0的自然数时原结论即可得证．

解答：解：∵n是大于1的奇数，
∴设n=2k+1（k是不等于0的自然数），
∴2^n-1-1=2^2k-1=（2^k-1）（2^k+1），
∴当2^k-1=2k+1或2^k=2k时，2^n-1-1是n的倍数，
当k=3时，2^k-1=7，2k+1=7，故2^n-1-1是n的倍数成立，
当k=2时，2^k+1=5，2k+1=5，故2^n-1-1是n的倍数成立．
综上所述，在数2-1，2²-1，2³-1，…，2^n-1-1中，至少有一个数能被n整除．

点评：本题考查的是数的整除性问题，根据奇数的性质设n=2k+1是解答此题的关键．