Question

5．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象交于P（n，2），与x轴交于A（-4，0），与y轴交于C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象有一点D，使得以B、C、P、D为顶点的四边形是菱形，求出点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y=kx+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，把点P（4，2）代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$即可得出m的值，进而得出结论；
（2）根据PB为菱形的对角线与PC为菱形的对角线两种情况进行讨论即可．

解答 解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（-4，0），
∴O为AB的中点，即OA=OB=4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（-4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}-4k+b=0\\ 4k+b=2\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{4}$，b=1，
∴一次函数解析式为y=$\frac{1}{4}$x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=$\frac{8}{x}$．

（2）如图所示，
当PB为菱形的对角线时，
∵四边形BCPD为菱形，
∴PB垂直且平分CD，
∵PB⊥x轴，P（4，2），
∴点D（8，1）．
当PC为菱形的对角线时，PB∥CD，
此时点D在y轴上，不可能在反比例函数的图象上，故此种情形不存在．
综上所述，点D（8，1）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到一次函数与反比例函数图象上点的坐标特点、菱形的判定与性质等知识，难度适中．