Question

【题目】如图，在正方形中，平分，交于点垂直平分线段 ，分别交、 、延长线于点、、，则下列结论： ①； ② ； ③ ； ④ ．其中正确的结论是__________．（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

：①在△AOH和△BIH中，根据三角形内角和定理，如图两个角对应相等，则第三个角∠FIB=∠BAE=22.5°；

②根据线段中垂线定理证明∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，可得EG∥AB；

③根据等量代换可得：∠CGF=∠BHI，可作判断；

④连接EH，证明四边形AHEG是菱形，根据EH＞BH，及相似三角形的性质可作判断．

解：①如图，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠BAD=45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=22.5°，
∵IF是AE的中垂线，
∴AE⊥PQ，
∴∠AOH=90°，
∵∠AOH=∠HBI=90°，∠AHO=∠IHB，
∴∠FIB=∠BAE=22.5°；

故①正确；

②∵OG是AE的中垂线，
∴AG=EG，
∴∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，
∴EG∥AB，
故②正确；

③∵∠HAO=∠GAO，∠AOH=∠AOG=90°，
∴∠AHO=∠AGO，
∵∠CGF=∠AGO，∠BHI=∠AHO，
∴∠CGF=∠BHI，
在Rt△BHI中，tan∠CGF=tan∠BHI=，
故③正确；

④连接EH，
∵AH=AG=EG，EG∥AB，
∴四边形AHEG是菱形，
∴AH=EH=EG＞BH，
∴≠，
∵EG∥AB，
∴△CEG∽△CBA，
∴=()2≠,
故④不正确；
本题正确的是：①②③，
故答案是：①②③．