Question

（Ⅰ）如图1，P是⊙O外一点，直线OP交⊙O于A，B两点（PA＞PB）．取⊙O上异于A，B的一点Q，连接PQ．判断PA，PB，PQ的大小关系．
（Ⅱ）如图2，等边△ABC的边长为1，两顶点A，B分别在x轴、y轴上运动，试求OC（O为原点）的最大值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（I）连接AQ，BQ利用圆周角定理的推论：直径所对圆周角为直角以及三角形外角和定理和在三角形中大角对大边即可判断PA，PB，PQ的大小关系；
（Ⅱ）取AB的中点D，连接OD及DC，根据三角形的边角关系得到OC小于等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，由等边三角形的边长为1，根据D为AB中点，得到BD为1，根据三线合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD，即为OC的最大值．

解答：解：（I）连接AQ，BQ，
∵AB为圆O的直径，
∴∠2=90°，
∵∠AQP=90°+∠BQP，
∴∠AQP为钝角，
∴在△AQP中，PA最长，即PA＞PQ，
∵∠PBQ=∠3+∠2=∠3+90°，
∴∠PBQ为钝角，
∴在△QBP中，PQ最长，即PQ＞PB，
∴PA，PB，PQ的大小关系为：PA＞PQ＞PB；

（Ⅱ）取AB中点D，连OD，DC，有OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD．
∵△ABC为等边三角形，D为中点，
∴BD=

1

2

，BC=1，根据勾股定理得：CD=

3

2

，
又△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD=

1

2

AB=

1

2

，
∴OD+CD=

1

2

+

3

2

，
即OC的最大值为

1

2

+

3

2

．

点评：（I）本题考查了圆周角定理的推论以及三角形的外角和定理和在三角形中大角对大边，题目难度不大但很新颖；
（Ⅱ）此题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，其中找出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键．