Question

19．若抛物线的顶点坐标是（1，16），并且抛物线与x轴两交点间的距离为8，
（1）试求该抛物线的关系式；
（2）求出这条抛物线上纵坐标为12的点的坐标．

Answer 1

分析 （1）已知了抛物线的对称轴方程和抛物线与x轴两交点间的距离，可求出抛物线与x轴两交点的坐标；然后用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）把y=12代入求得的解析式，可求出抛物线上纵坐标为12的点的坐标．

解答 解：（1）设该抛物线的关系式为y=a（x-1）²+16，与x轴的两个交点的横坐标为x₁＜x₂；
对称轴x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，x₂-x₁=8；
解得：x₁=-3，x₂=5，
∴抛物线与x轴两交点为（-3，0），（5，0）；
把点（5，0）代入y=a（x-1）²+16，得：16a+16=0，
∴a=-1；
∴该抛物线的关系式为y=-（x-1）²+16，
即y=-x²+2x+15；
（2）将y=12代入，得：-x²+2x+15=12；
解得x₁=3，x₂=-1；
∴这条抛物线上纵坐标为12的点的坐标为（3，12），（-1，12）．

点评 本题考查了用待定系数法求函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得与x轴的交点坐标是解题的关键．