Question

11．画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作∠ACB的平分线OP；作线段CD的平分线EF，分别于CD、OP相交于E、P；连接CE、CP、DF
（2）在所画图中，
①线段OE与CD之间有怎样的数量关系，并说明理由．
②求证：△CDF为等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）利用基本作图（作一个角的平分线和线段的垂直平分线）作OP平分∠AOB，作EF垂直平分CD；
（2）①根据直角三角形斜边上的中线性质判断；
②根据线段垂直平分线的性质进行证明．

解答 （1）解：如图，OP和EF为所作；

（2）①解：OE=$\frac{1}{2}$CD．理由如下：
∵EF垂直平分CD，
∴CE=DE，
∵∠COD=90°，
∴OE=$\frac{1}{2}$CD；
②证明：∵EF垂直平分CD，
∴FD=FC，
∴△CDF为等腰三角形．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．