Question

如图，△ABC中．D、E分别是边BC、AB上的点，且∠1=∠2=∠3，如果△ABC、△EBD、△ADC的周长依次是m、m₁、m₂，证明：

m1+m2

m

≤

5

4

．

Answer 1

分析：设BC=a，AC=b，由∠1=∠2=∠3，得到△ABC∽△EBD∽△DAC，通过相似比得到DC=

b2

a

，BD=BC-DC=a-

b2

a

=

a2-b2

a

，则

m1

m

=

BD

BC

=

a2-b2

a2

，

m2

m

=

AC

BC

=

b

a

，得到∴

m1+m2

m

=

a2-b2

a2

+

b

a

=-（

b

a

-

1

2

）²+

5

4

．即可得到结论．

解答：解：设BC=a，AC=b，∵∠1=∠2=∠3，
∴△ABC∽△EBD∽△DAC，
∴

DC

AC

=

AC

BC

，
∴DC=

b2

a

，BD=BC-DC=a-

b2

a

=

a2-b2

a

，
∵

m1

m

=

BD

BC

=

a2-b2

a2

，

m2

m

=

AC

BC

=

b

a

，
∴

m1+m2

m

=

a2-b2

a2

+

b

a

=-（

b

a

-

1

2

）²+

5

4

≤

5

4

．

点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：有两个角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等，周长的比等于相似比．也考查了用配方法求最值．