Question

5．阅读下列运算过程：
$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}$=$\sqrt{2}$-1，
$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$=$\frac{1×（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}-\sqrt{2}）（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}$=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}$=$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”．通过分母有理化，可把不是最简的二次根式化成最简二次根式．请参考上述方法，解决下列问题：
（1）化简：$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$=$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$，$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）计算：$\frac{1}{1+\sqrt{5}}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}$+$\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{165}+\sqrt{169}}$；
（3）计算：$\frac{1}{3+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}$+$\frac{1}{7\sqrt{5}+5\sqrt{7}}$+…+$\frac{1}{81\sqrt{79}+79\sqrt{81}}$．

Answer 1

分析 （1）将各项分母有理化即可；
（2）原式各项分母有理化，计算即可得到结果；
（3）原式各项分母有理化，计算即可得到结果．

解答 解：（1）$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$=$\frac{2（\sqrt{5}+\sqrt{3}）}{（\sqrt{5}-\sqrt{3}）（\sqrt{5}+\sqrt{3}）}$=$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$；
$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$；$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$；$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）原式=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$+$\frac{\sqrt{9}-\sqrt{5}}{4}$+…+$\frac{\sqrt{169}-\sqrt{165}}{4}$
=$\frac{13-1}{4}$
=3；
（3）原式=$\frac{1}{\sqrt{3}（\sqrt{3}+1）}$+$\frac{1}{\sqrt{15}（\sqrt{5}+\sqrt{3}）}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2003}（\sqrt{49}+\sqrt{47}）}$
=$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}$+$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2\sqrt{15}}$+…+$\frac{\sqrt{49}-\sqrt{47}}{2\sqrt{2003}}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$-$\frac{1}{\sqrt{15}}$+$\frac{1}{\sqrt{47}}$-$\frac{1}{\sqrt{49}}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{7}$）
=$\frac{3}{7}$．

点评 此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．