如图,已知⊙O的半径为6cm,射线PM经过点O,OP=10cm,射线PN与⊙O相切于点Q.A,B两点同时从点P出发,点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动,点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为ts.
(1)求PQ的长;
(2)当t为何值时,直线AB与⊙O相切?
(1)连接OQ,
∵PN与⊙O相切于点Q,∴OQ⊥PN,即∠OQP=90°.
∵OP=10,OQ=6,∴PQ==8(cm).
(2)过点O作OC⊥AB,垂足为C.
∵点A的运动速度为5cm/s,点B的运动速度为4cm/s,运动时间为ts,
∴PA=5t,PB=4t.
∵PO=10,PQ=8,∴.
∵∠P=∠P,∴△PAB∽△POQ.∴∠PBA=∠PQO=90°.
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°,∴四边形OCBQ为矩形.∴BQ=OC.
∵⊙O的半径为6,∴BQ=OC=6时,直线AB与⊙O相切.
①当AB运动到如图1所示的位置,BQ=PQ-PB=8-4t,
∵BQ=6,∴8-4t=6.∴t=0.5(s).
②当AB运动到如图2所示的位置,BQ=PB﹣PQ=4t-8,
∵BQ=6,∴4t-8=6.∴t=3.5(s).
∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切.
【解析】(1)根据切线的性质得∠OQP=90°,在直角△OPQ中根据勾股定理就可以求出PQ的值;(2)过点O作OC⊥AB,垂足为C.直线AB与⊙O相切,则△PAB∽△POQ,根据相似三角形的对应边的比相等,就可以求出t的值.
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