Question

用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A，定义为第一组，在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组，在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，…，按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满________组，此时还剩余________块瓷砖．

Answer 1

26    54
分析：这个可以用等差数列来计算，假设共有n组，不看第一组，那么就有n-1组，共有（n-1）×6n÷2=3n（n-1）个，为了使3n（n-1）+1最接近2005，那n就是26．
解答：观察可知：铺满一组，用瓷砖总数为1，
铺满第二组时，用瓷砖总数为1+6×1，
铺满第三组时，用瓷砖总数为1+6×1+6×2，
…
铺满n组时，用瓷砖总数为：1+6×1+6×2+…+6（n一1）=1+3n（n一1）．
当n=26时，1+3×26×（26-1）=1951＜2005，
当n=27时，1+3×27×（27-1）=2107＞2005．
所以最多能完整地铺满26组，此时还剩余2005-1951=54块瓷砖．
故答案为：26，54．
点评：本题考查了规律型：图形的变化．解题的关键是发现从第二组起瓷砖的每组的块数是差为6的等差数列．