在平面直角坐标系中,A、B为反比例函数的图象上两点,A点的横坐标与B点的纵坐标均为1,将的图象绕原点O顺时针旋转90°,A点的对应点为,B点的对应点为.
(1)求旋转后的图象解析式;
(2)求、点的坐标;
(3)连结.动点从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动;动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设运动的时间为秒,试探究:是否存在使为等腰直角三角形的值,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
解:(1)如图所示,∵点关于轴的对称点为,与轴交于点,
∴⊥轴于,,
.…………………………1分
∴.
∴,
由题意可知 , .
∴.
过点作轴于,轴于,
在中, , .
由矩形得.
∵点在第四象限∴.……………………………2分
(2)设经过、、三点的抛物线的解析式为.
依题意得 ………………………3分
解得 ∴此抛物线的解析式为.………………………4分
(3)∵,
∴点为抛物线的顶点.
∴直线为抛物线的对称轴,交于,
由题意可知 ,,
∴,
∴,
∴,
∴是等边三角形,.
∴.
①当点在上时,四边形为等腰梯形.
∵∥∥,与不平行,∴四边形为梯形.
要使梯形为等腰梯形,只需满足.
∵,∴点在上.
由、求得直线的解析式为.
又∵点在抛物线上,∴.
解得(与点重合,舍).∴点横坐标为.
由、求得直线的解析式为.
∵点在上,∴ .∴.………6分
②当点在上时,四边形为平行四边形,此时点坐标为. ……………………8分
综上所述,当时,为等腰梯形;当时,为平行四边形.
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