Question

13．如图，等边△ABC中，点D、E、F分别同时从点A、B、C出发，以相同的速度在AB、BC、CA上运动，连结DE、EF、DF．
（1）证明：△DEF是等边三角形；
（2）在运动过程中，当△CEF是直角三角形时，试求$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，AD=BE=CF，进一步证得BD=EC=AF，即可证得△ADF≌△BED≌△CFE，根据全等三角形的性质得出DE=EF=FD，即可证得△DEF是等边三角形；
（2）由△ABC和△DEF是等边三角形，得出△DEF∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，
∵AD=BE=CF，
∴BD=EC=AF，
在△ADF、△BED和△CFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE=CF}\\{∠A=∠B=∠C}\\{BD=CE=AF}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴DE=EF=FD，
∴△DEF是等边三角形；

（2）解：∵△ABC和△DEF是等边三角形，
∴△DEF∽△ABC，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD，即BE=$\frac{1}{3}$BC，CE=$\frac{2}{3}$BC，
∵EF=EC•sin60°=$\frac{2}{3}$BC•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{EF}{BC}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解答此题的关键．