Question

如图，AB是⊙O的直径，D是

BC

的中点，AC、BD的延长线相交于点E，求证：AE=AB．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：证明题

分析：连结AD，如图，根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，由D是

BC

的中点得到∠1=∠2，则AD⊥BE，AD平分∠BAE，于是可判断△ABE为等腰三角形，即有AB=AE．

解答：证明：连结AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BE，
∵D是

BC

的中点，
即

DB

=

DC

，
∴∠1=∠2，
即AD平分∠BAE，
∴△ABE为等腰三角形，
∴AB=AE．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质．