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如图,AB是定长线段,圆心O是AB的中点,AE、BF为切线,E、F为切点,满足AE=BF,在数学公式上取动点G,国点G作切线交AE、BF的延长线于点D、C,当点G运动时,设AD=y,BC=x,则y与x所满足的函数关系式为


  1. A.
    正比例函数y=kx(k为常数,k≠0,x>0)
  2. B.
    一次函数y=kx+b(k,b为常数,kb≠0,x>0)
  3. C.
    反比例函数y=数学公式(k为常数,k≠0,x>0)
  4. D.
    二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,x>0)
C
分析:延长AD,BC交于点Q,连接OE,OF,OD,OC,OQ,由AE与BF为圆的切线,利用切线的性质得到AE与EO垂直,BF与OF垂直,由AE=BF,OE=OF,利用HL得到直角三角形AOE与直角BOF全等,利用全等三角形的对应角相等得到∠A=∠B,利用等角对等边可得出三角形QAB为等腰三角形,由O为底边AB的中点,利用三线合一得到QO垂直于AB,得到一对直角相等,再由∠FQO与∠OQB为公共角,利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形FQO与三角形OQB相似,同理得到三角形EQO与三角形OAQ相似,由相似三角形的对应角相等得到∠QOE=∠QOF=∠A=∠B,再由切线长定理得到OD与OC分别为∠EOG与∠FOG的平分线,得到∠DOC为∠EOF的一半,即∠DOC=∠A=∠B,又∠GCO=∠FCO,得到三角形DOC与三角形OBC相似,同理三角形DOC与三角形DAO相似,进而确定出三角形OBC与三角形DAO相似,由相似得比例,将AD=x,BC=y代入,并将AO与OB换为AB的一半,可得出x与y的乘积为定值,即y与x成反比例函数,即可得到正确的选项.
解答:解:延长AD,BC交于点Q,连接OE,OF,OD,OC,OQ,
∵AE,BF为圆O的切线,
∴OE⊥AE,OF⊥FB,
∴∠AEO=∠BFO=90°,
在Rt△AEO和Rt△BFO中,

∴Rt△AEO≌Rt△BFO(HL),
∴∠A=∠B,
∴△QAB为等腰三角形,
又∵O为AB的中点,即AO=BO,
∴QO⊥AB,
∴∠QOB=∠QFO=90°,
又∵∠OQF=∠BQO,
∴△QOF∽△QBO,
∴∠B=∠QOF,
同理可以得到∠A=∠QOE,
∴∠QOF=∠QOE,
根据切线长定理得:OD平分∠EOG,OC平分∠GOF,
∴∠DOC=∠EOF=∠A=∠B,
又∵∠GCO=∠FCO,
∴△DOC∽△OBC,
同理可以得到△DOC∽△DAO,
∴△DAO∽△OBC,
=
∴AD•BC=AO•OB=AB2,即xy=AB2为定值,
设k=AB2,得到y=
则y与x满足的函数关系式为反比例函数y=(k为常数,k≠0,x>0).
故选C.
点评:本题属于圆的综合题,涉及的知识有:相似三角形的判定与性质,切线长定理,直角三角形全等的判定与性质,反比例函数的性质,以及等腰三角形的性质,做此题是注意灵活运用所学知识.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,P是定长线段AB上一点,C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动(C在线段AP上,D在线段BP上)
(1)若C、D运动到任一时刻时,总有PD=2AC,请说明P点在线段AB上的位置:
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(2)在(1)的条件下,Q是直线AB上一点,且AQ-BQ=PQ,求
PQ
AB
的值.
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(3)在(1)的条件下,若C、D运动5秒后,恰好有CD=
1
2
AB
,此时C点停止运动,D点继续运动(D点在线段PB上),M、N分别是CD、PD的中点,下列结论:①PM-PN的值不变;②
MN
AB
的值不变,可以说明,只有一个结论是正确的,请你找出正确的结论并求值.
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如图,P是定长线段AB的三等分点,Q是直线AB上一点,且AQ-BQ=PQ,求
PQAB
的值.

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,P是定长线段AB上一点,C、D两点同时从P、B出发分别以1cm/s和2cm/s的速度沿直线AB向左运动(C在线段AP上,D在线段BP上).已知C、D运动到任一时刻时,总有PD=2AC.
(1)线段AP与线段AB的数量关系是:
 

(2)若Q是线段AB上一点,且AQ-BQ=PQ,求证:AP=PQ;
(3)若C、D运动5秒后,恰好有CD=
1
2
AB,此时C点停止运动,D点在线段PB上继续运动,M、N分别是CD、PD的中点,问
MN
AB
的值是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出
MN
AB
的值.

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,AB是定长线段,圆心O是AB的中点,AE、BF为切线,E、F为切点,满足AE=BF,在
EF
上取动点G,国点G作切线交AE、BF的延长线于点D、C,当点G运动时,设AD=y,BC=x,则y与x所满足的函数关系式为(  )
A、正比例函数y=kx(k为常数,k≠0,x>0)
B、一次函数y=kx+b(k,b为常数,kb≠0,x>0)
C、反比例函数y=
k
x
(k为常数,k≠0,x>0)
D、二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,x>0)

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