Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）．
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x=1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立？若存在请求出t值，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，可得a，b，c的值．
（2）过P作直线x=1的垂线，可求P纵坐标，知道M、P、F三点坐标，就能求出三角形各边的长．
（3）存在，Rt△PNH中，利用勾股定理建立起y与t的关系式，推出t的值，即可得知存在这样的点．
解答：解：（1）抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，
可得-=1，=1，c=0，
∴a=-1，b=2，c=0．

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x²+2x，
故设P点的坐标为（m，-m²+2m），则M点的坐标（m，），
∵△PFM是以PM为底边的等腰三角形
∴PF=MF，即（m-1）²+（-m²+2m-）²=（m-1）²+（-）²
∴-m²+2m-=或-m²+2m-=-，
①当-m²+2m-=时，即-4m²+8m-5=0
∵△=64-80=-16＜0
∴此式无解
②当-m²+2m-=-时，即m²-2m=-
∴m=1+或m=1-
Ⅰ、当m=1+时，P点的坐标为（1+，），M点的坐标为（1+，）
Ⅱ、当m=1-时，P点的坐标为（1-，），M点的坐标为（1-，），
经过计算可知PF=PM，
∴△MPF为正三角形，
∴P点坐标为：（1+，）或（1-，）．

（3）当t=时，即N与F重合时PM=PN恒成立．
证明：过P作PH与直线x=1的垂线，垂足为H，
在Rt△PNH中，
PN²=（x-1）²+（t-y）²=x²-2x+1+t²-2ty+y²，
PM²=（-y）²=y²-y+，
P是抛物线上的点，
∴y=-x²+2x；∴PN²=1-y+t²-2ty+y²=y²-y+，
∴-y+2ty+-t²=0，y（2t-）+（-t²）=0对任意y恒成立．
∴2t-=0且-t²=0，
∴t=，
故t=时，PM=PN恒成立．
∴存在这样的点．
点评：本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象的对称轴问题，判定三角形是正三角形的方法，综合性强，能力要求极高．