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【题目】如图所示,MN是⊙O的切线,B为切点,BC是⊙O的弦且∠CBN=45°,过C的直线与⊙O,MN分别交于A,D两点,过C作CE⊥BD于点E.、

(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若∠D=30°,BD=4,求⊙O的半径r.

【答案】
(1)证明:连接OC、OB,如图,

∵MN是⊙O的切线,

∴OB⊥MN,

∴∠OBE=90°,

∵CE⊥MN,

∴∠CEB=90°,

∵∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°,

∴四边形OBEC为矩形,

∴∠OCE=90°,

∴OC⊥CE,

∴CE是⊙O的切线


(2)解:∵OB=OC,

∴四边形OBEC为正方形,

∴BE=CE=OB=r,

∴DE=BD﹣BE=4﹣r,

在Rt△CED中,∵tanD= =tan30°,

=

∴r=2 ﹣2


【解析】(1)连接OC、OB,依据切线的性质可得到∠OBE=90°,然后,再由圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC=90°,接下来,再证明四边形OBEC为矩形,根据矩形的性质可得到∠OCE=90°,最后,根据切线的判定定理进行判断即可;
(2)先证明四边形OBEC为正方形,然后再依据正方形的性质得到BE=CE=OB=r,然后在Rt△CED中利用正切的定义得到=,然后再解关于r的方程即可.

练习册系列答案
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【题目】商场经营的某品牌童装,4月的销售额为20000元,为扩大销量,5月份商场对这种童装打9折销售,结果销量增加了50件,销售额增加了7000元.

(1)求该童装4月份的销售单价;

(2)若4月份销售这种童装获利8000元,6月全月商场进行“六一”儿童节促销活动.童装在4月售价的基础上一律打8折销售,若该童装的成本不变,则销量至少为多少件,才能保证6月的利润比4月的利润至少增长25%?

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【题目】益马高速通车后,将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低。马迹塘一农户需要将A,B两种农产品定期运往益阳某加工厂,每次运输A,B产品的件数不变,原来每运一次的运费是1200元,现在每运一次的运费比原来减少了300元,A,B两种产品原来的运费和现在的运费(单位:元∕件)如下表所示:

品种

A

B

原来的运费

45

25

现在的运费

30

20

(1)求每次运输的农产品中A,B产品各有多少件?

(2)由于该农户诚实守信,产品质量好,加工厂决定提高该农户的供货量,每次运送的总件数增加8件,但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍,问产品件数增加后,每次运费最少需要多少元?

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【题目】如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.

(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式;
②当S最大时,在抛物线y=﹣ x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.

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【题目】如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=16°31′,则飞机A与指挥台B的距离等于(结果保留整数)(参考数据sin16°31′=0.28,cos16°31′=0.95,tan16°31′=0.30)

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求证:(1)四边形AECF是平行四边形。(2)EFGH互相平分。

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【题目】如图,在平面直角坐标系中,以A(2,0),B(0,t)为顶点作等腰直角△ABC(其中∠ABC=90°,且点C落在第一象限内),则点C关于y轴的对称点C’的坐标为___.(用t的代数式表示)

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