Question

如图在直角梯形ABCD中，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD．OB与EF相交于点M，OC与FG相交于点N，连接MN．
（1）求证：MN²=BF•CF
（2）若OB=6，OC=8，若AD也与⊙O相切，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）首先证明OB⊥OC，即转化为证明∠BOC=90°，即可，利用切线长定理和平行线的性质：同旁内角互补即可证明，再利用矩形的性质得出MN=OF，进而利用相似三角形的性质得出答案；
（2）首先利用勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积得出FO的长，再利用切线长定理以及直角梯形面积求法得出矩形ADGE的面积和S_梯形EGCB进而得出答案．

解答：（1）证明：连接EO，OG，FO，
∵BA，BC为⊙O的切线，
∴BO平分∠ABC，
同理CO平分∠BCD，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠BOC=90°，
即OB⊥OC，
∵直角梯形ABCD中，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，
∴可得出：∠EOB=∠BOF，∠FOC=∠COG，FO⊥BC，
∴∠EOB+∠COG=90°，
∴EG在一条直线上，且过圆心O，故EG是直径，
∴∠EFG=90°，
∵由已知可得出：CG=FC，FO=OG，
∴CO垂直平分FG，
∴∠ONF=90°，
∴四边形ONFM是矩形，
∴NM=FO，
∵∠BOF+∠FOC=90°，∠OBF+∠BOF=90°，
∴∠OBF=∠FOC，
∵∠OFB=∠OFC=90°，
∴△OFB∽△CFO，
∴

FO

BF

=

FC

FO

，
∴FO²=FC•BF，
∴MN²=BF•CF；

（2）解：设AD与⊙O相切于点W，
∵在Rt△OBC中，OB=6，OC=8，
BC²=OB²+OC²，
∴BC=10，
∵FO×BC=BO×CO，
∴10FO=6×8，
∴OF=4.8，
即圆的半径为4.8，
∴EG=9.6，
∵在直角梯形ABCD中，AD与⊙O相切，EG是直径
∴四边形ADGE是矩形，
∴AE=DG=WO=4.8，
∴矩形ADGE的面积为：4.8×9.6=46.08，
由（1）可得出四边形EGCB是直角梯形，
∴S_梯形EGCB=

1

2

EG（EB+GC）=

1

2

×9.6×10=48，
∴四边形ABCD的面积为：矩形ADGE的面积+S_梯形EGCB=46.08+48=94.08．

点评：本题考查了切线长定理、平行线的性质以及矩形的判定和性质、勾股定理的运用和相似三角形的判定和性质等知识，根据已知得出EG是⊙O是解题关键．