Question

10．如图，已知抛物线y=ax²+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），与y轴交于点C，点D是抛物线在y轴右侧的一动点，线段AD、直线BD分别交y轴于点F、E，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当0＜m＜2时，求证：tan∠DAB+tan∠DBA为定值；
（3）若△DBF为直角三角形，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由于抛物线y=ax²+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），求得a=-1，于是得到结论；
（2）由点D的横坐标为m，得到D（m，-m²+4），过D作DG⊥AB于G，得到DG=-m²+4，OG=m，求得AG=2+m，BG=2-m，根据三角函数的定义即可得到结论；
（3）①当∠FDB=90°时，如图1，过D作DG⊥AB于G，根据射影定理得到DG²=AG•BG，得到m=$\sqrt{3}$；②当∠BFD=90°时，如图2，则∠AFB=90°，根据直角三角形的性质得到OF=$\frac{1}{2}$AB=2，得到F（0，2）或（-2，0），求得直线AF的解析式为y=x+2，或y=-x-2解方程组得到m=1或m=3，于是得到结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），
∴0=4a+4，
∴a=-1，
∴抛物线的表达式为y=-x²+4；
（2）∵点D的横坐标为m，
∴D（m，-m²+4），
过D作DG⊥AB于G，
∴DG=-m²+4，OG=m，
∵在y=-x²+4中，当y=0时，x=±2，
∴A（-2，0），B（2，0），
∴AG=2+m，BG=2-m，
∴tan∠DAB+tan∠DBA=$\frac{DG}{AG}$+$\frac{DG}{BG}$=$\frac{-{m}^{2}+4}{2+m}+\frac{-{m}^{2}+4}{2-m}$=4（定值）；
（3）∵△DBF为直角三角形，
①当∠FDB=90°时，如图1，过D作DG⊥AB于G，
则DG²=AG•BG，
由（2）知，DG=-m²+4，OG=m，AG=2+m，BG=2-m，
∴（-m²+4）²=（2+m）（2-m），
∴m²=4（不合题意，舍去），m²=3，
∵点D是抛物线在y轴右侧的一动点，
∴m＞0，
∴m=$\sqrt{3}$；
②当∠BFD=90°时，如图2，
则∠AFB=90°，
∵OF⊥AB，AO=BO，
∴OF=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴F（0，2）或（-2，0），
∴直线AF的解析式为y=x+2，或y=-x-2
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-{x}^{2}+4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-2}\\{y=-{x}^{2}+4}\end{array}\right.$，
解得x=-2或x=1或x=-2或x=3，
∵m＞0，
∴m=1或m=3，
∴若△DBF为直角三角形，m的值是$\sqrt{3}$或1或3．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角函数的定义，射影定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．