Question

13．如图，点A（2，0），以OA为半径在第一象限内作圆弧AB，使∠AOB=60°，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一动点（不与点O，A重合），点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则点E的坐标为（$2\sqrt{3}-2，0$）；若点E落在半径OB上，则点E的坐标为（$\sqrt{3}-1$，$3-\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 根据点E落在半径OA上．可以画出相应的图形，可知点A与点E关于点CD对称，从而可以得到DE=DA，由点C为弧AB的中点，∠AOB=60°，OC=OA=2，可以求得OD和AD的长，从而可以求得OE的长，进而得到点E的坐标；
根据点E落在半径OB上，画出相应的图形，由D为半径OA上一动点（不与点O，A重合），点A关于直线CD的对称点为E，可知CB=CE，由前面求得的OE的长与此时OE的长相等，根据∠AOB=60°，可以求得点E的坐标．

解答 解：当点E落在半径OA上时，连接OC，如下图1所示，
∵∠ADC=90°，∠AOB=60°，点C为弧AB的中点，点A（2，0），
∴∠COD=30°，OA=OC=2，
∴CD=OC•sin30°=2×$\frac{1}{2}=1$，
∴OD=OC$•cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴AD=OA-OD=2-$\sqrt{3}$，
∵DE=DA，
∴OE=OD-OE=$\sqrt{3}$-（2-$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}-2$，
即点E的坐标为（2$\sqrt{3}-2$，0）；
当点E落在半径OB上时，连接OC，CD，如图2所示，

由已知可得，CE=CA=CB，
由上面的计算可知，OE=2$\sqrt{3}-2$，
∴点E的横坐标为：$（2\sqrt{3}-2）×cos60°=\sqrt{3}-1$，
点E的纵坐标为：（2$\sqrt{3}-2$）×sin60°=3-$\sqrt{3}$，
故答案为：（$2\sqrt{3}-2$，0）；（$\sqrt{3}-1，3-\sqrt{3}$）．

点评 本题考查圆的综合题、特殊角的三角函数值，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．