分析 (1)过D点作DN∥FG交BC于点N,交AE于点M,证出四边形FGND是平行四边形,得出DN=FG,由ASA证明△DNC≌△AED,得出DN=AE,即可得出结论;
(2)在Rt△ADE中,由勾股定理求出AE=3$\sqrt{10}$,由三角函数得出tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{1}{3}$,再由三角函数求出FH=$\frac{1}{3}$AH=$\frac{\sqrt{10}}{2}$,即可得出结果.
解答 (1)证明:过D点作DN∥FG交BC于点N,交AE于点M
在正方形ABCD中,AD∥BC,AD=DC,∠ADC=∠C=90°,
则四边形FGND是平行四边形,
∴DN=FG,
∵FG垂直平分AE,
∴∠FHA=90°
∵DN∥FG,
∴∠DMA=∠FHA=90°,
∴∠NDE+∠AED=90°,
又∵∠DAE+∠AED=90°,
∴∠NDE=∠DAE,
在△DNC和△AED中,$\left\{\begin{array}{l}{∠NDE=∠DAE}&{\;}\\{CD=DA}&{\;}\\{∠C=∠ADC}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△DNC≌△AED(ASA),
∴DN=AE,
∴AE=FG;
(2)解:在正方形ABCD中,∠D=90°,AD=9,DE=3
在Rt△ADE中,AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{10}$,tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{3}{9}$=$\frac{1}{3}$,
∴在Rt△AHF中,tan∠FAH=$\frac{FH}{AH}$=$\frac{1}{3}$,
点H为AE中点,AH=HE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$,
∴FH=$\frac{1}{3}$AH=$\frac{\sqrt{10}}{2}$,
∴HG=FG-FH=3$\sqrt{10}$-$\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{5\sqrt{10}}{2}$.
点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理.三角函数等知识;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{10}$ | B. | 3 | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | 1 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | π | B. | $\frac{3π}{2}$ | C. | 2π | D. | 3π |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | a≥-2 | B. | a<-2 | C. | a≤-2 | D. | a>-2 |
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