Question

【题目】如图，抛物线与轴交于A，B两点(点B在点A的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与轴交于点E，联接AD，OD．

（1）求顶点D的坐标（用含的式子表示）；

（2）若OD⊥AD，求该抛物线的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，设动点P在对称轴左侧该抛物线上，PA与对称轴交于点M，若△AME与△OAD相似，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）(4,-4m)（2）（3）（0，）或（1，）

【解析】分析：(1)、将已知的二次函数进行配方，从而得出顶点坐标；(2)、将二次函数转化为交点式，从而得出点A和点B的坐标，根据勾股定理以及OD⊥AD得出等量关系，求出m的值；(3)、过点P作PH⊥x轴于点H，则△APH∽△AME，首先设出点P的坐标，根据△APH∽△AME∽△AOD和△APH∽△AME∽△OAD时分别得出答案．

详解：（1）∵， ∴顶点D的坐标为(4,-4ｍ).

（2）∵

∴点A（6，0），点B(2,0)，则OA＝6， ∵抛物线的对称轴为x＝4，∴点E（4，0），

则OE＝4，AE＝2， 又DE＝4ｍ，

∴由勾股定理得：， ，

又OD⊥AD，∴， 则，解得：，

∵m＞0，∴抛物线的函数表达式.

（3）如图，过点P作PH⊥x轴于点H，则△APH∽△AME，

在Rt△OAD中，， 设点P的坐标为，

当△APH∽△AME∽△AOD时，∵，

∴，即，

解得：x＝0，x＝6（舍去），∴点P的坐标为；

②△APH∽△AME∽△OAD时，∵， ∴，即，

解得：x＝1，x＝6（舍去），∴点P的坐标为；

综上所述，点P的坐标为或.