Question

如图，已知等边三角形ABC的边长为2a，求其内切圆的内接正方形DEFG的周长和面积．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：利用正三角形的性质以及其内切圆的性质得出圆的半径，再利用正方形的性质得出其边长，进而得出答案．

解答：解：如图所示：连接CO，OD，OE，设N为切点，连接ON，
∵等边三角形ABC的边长为2a，
∴NC=a，∠OCN=30°，
则NO=atan30°=

3

3

a，
故DO=EO=

3

3

a，
则DE=

3

3

a×

2

=

6

3

a，
故内切圆的内接正方形DEFG的周长为：

6

3

a×4=

4 6

3

a；
其面积为：（

6

3

a）²=

2

3

a²．

点评：此题主要考查了正三角形和正方形的性质，得出内切圆半径的长是解题关键．