Question

13．如图所示，四边形ABCD是正方形，△DCE是等边三角形，AC、BD交于点O，连接AE交BD于F，连接OE交CD于G
（1）求∠AED的度数；
（2）若OG=1，求△CDE的周长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠ADE=90°+60°=150°，AD=DE=BC，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠AED即可；
（2）先证明OE垂直平分CD，得出G是CD的中点，得出OG是△BCD的中位线，由三角形中位线定理得出BC=2OG=2，得出DE=CE=CD=2，即可得出结果．

解答 解：（1）如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=CD=BC，OA=OC=OB=OD，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，CD=DE=CE，
∴∠ADE=90°+60°=150°，AD=DE=BC，
∴∠AED=∠DAE=$\frac{1}{2}$（180°-150°）=15°；
（2）∵OC=OD，DE=CE，
∴点O在CD的垂直平分线上，点E在CD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分CD，
∴G是CD的中点，
∵OB=OD，
∴OG是△BCD的中位线，
∴BC=2OG=2，
∴DE=CE=CD=2，
∴△CDE的周长=DE+CE+CD=6．

点评 本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．