如图.已知二次函数y=$a{x}^{2}+\frac{3}{2}x+c$的图象与y轴交于点A(0.4).与x轴交于点B.C.点C的坐标为(8.0).连接AB.AC．(1)请直接写出二次函数y=$a{x}^{2}+\frac{3}{2}x+c$的表达式,(2)判断△ABC的形状.并说明理由,(3)若点N在x轴上运动.当以点A.N.C为顶点的三角形是等腰三角形时.请直接� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．如图，已知二次函数y=$a{x}^{2}+\frac{3}{2}x+c$的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B，C，点C的坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=$a{x}^{2}+\frac{3}{2}x+c$的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；
（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

分析（1）由点A、C的坐标利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）令二次函数解析式中y=0，求出点B的坐标，再由两点间的距离公式求出线段AB、AC、BC的长度，由三者满足AB²+AC²=BC²即可得出△ABC为直角三角形；
（3）设点N的坐标为（m，0），由两点间的距离公式分别求出线段AN、AC、NC的长度，分AC=AN、AC=CN以及AN=CN来讨论，由线段相等得出关于m的方程，解方程求出m值，由此即可得出点N的坐标；
（4）设点N的坐标为（n，0）（-2＜n＜8），通过分割图形法求面积，再根据相似三角形面积间的关系以及三角形的面积公式即可得出S_△AMN关于n的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．

解答解：（1）将点A（0，4）、C（8，0）代入y=$a{x}^{2}+\frac{3}{2}x+c$中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4=c}\\{0=64a+12+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴该二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}$x+4．
（2）令y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}$x+4中y=0，则-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}$x+4=0，
解得：x=-2，或x=8，
∴点B的坐标为（-2，0），
又∵点A（0，4），点C（8，0），
∴AB=2$\sqrt{5}$，AC=4$\sqrt{5}$，BC=10．
∵AB²+AC²=20+80=100=BC²，
∴△ABC为直角三角形．
（3）设点N的坐标为（m，0），
则AC=4$\sqrt{5}$，AN=$\sqrt{（0-m）^{2}+（4-0）^{2}}$，CN=|8-m|．
以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况：
①当AC=AN时，即4$\sqrt{5}$=$\sqrt{（0-m）^{2}+（4-0）^{2}}$，
解得：m=-8，或m=8（舍去），
此时点N的坐标为（-8，0）；
②当AC=CN时，即4$\sqrt{5}$=|8-m|，
解得：m=8-4$\sqrt{5}$，或m=8+4$\sqrt{5}$，
此时点N的坐标为（8-4$\sqrt{5}$，0）或（8+4$\sqrt{5}$，0）；
③当AN=CN时，即$\sqrt{（0-m）^{2}+（4-0）^{2}}$=|8-m|，
解得：m=3，
此时点N的坐标为（3，0）．
综上可知：以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标为（-8，0）、（8-4$\sqrt{5}$，0）、（8+4$\sqrt{5}$，0）或（3，0）．
（4）设点N的坐标为（n，0）（-2＜n＜8），则BN=n-（-2）=n+2．
∵MN∥AC，
∴△BMN∽△BAC，
∴$\frac{{S}_{△BMN}}{{S}_{△BAC}}$=$（\frac{BN}{BC}）^{2}$．
∵S_△BAC=$\frac{1}{2}$AB•AC=20，BN=n+2，BC=10，
∴S_△BMN=S_△BAC•$（\frac{BN}{BC}）^{2}$=$\frac{1}{5}（n+2）^{2}$．
S_△AMN=S_△ABN-S_△BMN=$\frac{1}{2}$AO•BN-$\frac{1}{5}（n+2）^{2}$=-$\frac{1}{5}$（n-3）²+5，
∴当n=3，即点N的坐标为（3，0）时，△AMN面积最大，最大值为5．

点评本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、直角三角形的判定定理、相似三角形的判定及性质以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）求出三角形三边长度；（3）分情况考查三角形何时为等腰三角形；（4）利用二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，但解题过程较繁琐，解决该题型题目时，时常用到两点间的距离公式来求线段的长度，在日常的练习中应对此类问题多加练习．

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