Question

13．抛物线y₁=mx²+（m-3）x-3（m＞0）与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB=OC．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）将抛物线y₁向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，若点C在直线y₂=-3x+t上，直线y₂向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的解析式易求点C的坐标，进而可求出点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式可求出m的值，则抛物线的解析式也可求出；
（2）由点C在直线y₂=-3x+t上，可知t=-3，若y₁向左平移n个单位后，则表达式为：y₃=（x-1+n）²-4，若y₂向下平移n个单位后，则表达式为：y₄=-3x-3-n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=1-n，y₃≤y₄，进而可求出n的取值范围．

解答 解：（1）∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，-3）．
∵抛物线与x轴交于A、B两点，OB=OC，
∴B（3，0）或B（-3，0）．
∵点A在点B的左侧，m＞0，
∴抛物线经过点B（3，0）．
∴0=9m+3（m-3）-3．
∴m=1．
∴抛物线的表达式为y₁=x²-2x-3；
（2）由（1）可知：y₁=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∵点C在直线y₂=-3x+t上，
∴t=-3，
∴y₂=-3x-3，
y₁向左平移n个单位后，则表达式为：y₃=（x-1+n）²-4，
则当x≥1-n时，y随x增大而增大，
y₂向下平移n个单位后，则表达式为：y₄=-3x-3-n，
要使平移后直线与P有公共点，则当x=1-n，y₃≤y₄，
即（1-n-1+n）²-4≤-3（1-n）-3-n，
解得：n≥1．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移、二次函数和坐标轴的交点问题以及二次函数增减性等知识，熟练掌握二次函数的各种性质特别是平行的性质是解题关键．