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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,ADDCD,且AC平分∠DAB.延长DCAB的延长线于点P

1)求证:PC2PAPB

2)若3AC4BC,⊙O的直径为7,求线段PC的长.

【答案】1)见解析;(2PC12

【解析】

1)证明△PAC∽△PCB,可得,即可证明PC2=PAPB

2)若3AC=4BC,则,由(1)可求线段PC的长.

1)∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90°.

ADDCD,且AC平分∠DAB

∴∠PDA=90°,∠DAC=BAC

∵∠PCA=PDA+DAC,∠PBC=ACB+BAC

∴∠PCA=PBC

∵∠BPC=CPA

∴△PAC∽△PCB

PC2=PAPB

2)∵3AC=4BC

PC=4k,则PB=3kPA=3k+7

(4k)2=3k(3k+7)

k=3k=0(舍去)

PC=12

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