Question

10．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，点P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ABP′重合，如果AP=6，求PP′的长．

Answer 1

分析 由旋转的性质可知PA=AP′，∠BAP=∠CAP′，从而可证明△APP′为等腰直角三角形，依据勾股定理可求得PP′的长．

解答 解：∵将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，
∴△ABP≌△ACP′，
∴AP=AP′=6，∠BAP=∠CAP′．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠CAP=90°．
∴∠CAP′+∠CAP=90°，即∠PAP′=90°，
∴△PAP′是等腰直角三角形．
由勾股定理得：PP′=$\sqrt{A{P}^{2}+AP{′}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$．
∴PP′的长为6$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用，证得△APP′为等腰直角三角形是解题的关键．