Question

13．若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字2，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“诚勤数”，如34的“诚勤数”为324；若将一个两位正整数M加2后得到一个新数，我们称这个新数为M的“立达数”，如34的“立达数”为36．
（1）求证：对任意一个两位正整数A，其“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；
（2）若一个两位正整数B的“立达数”的各位数字之和是B的各位数字之和的一半，求B的值．

Answer 1

分析 （1）设A的十位数字为a，个位数字为b，其“诚勤数”为100a+20+b、“立达数”为10a+b+2，作差整理即可得；
（2）设B=10a+b，1≤a≤9，0≤b≤9（B加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位），根据““立达数”的各位数字之和是B的各位数字之和的一半”列出关于a、b的方程，求解可得．

解答 解：（1）设A的十位数字为a，个位数字为b，
则A=10a+b，它的“诚勤数”为100a+20+b，它的“立达数”为10a+b+2，
∴100a+20+b-（10a+b+2）=90a+18=6（15a+3），
∵a为整数，
∴15a+3是整数，
则“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；

（2）设B=10a+b，1≤a≤9，0≤b≤9（B加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位），
∴B+2=10a+b+2，
则B的“立达数”为10（a+1）+（b+2-10），
∴a+1+b+2-10=$\frac{1}{2}$（a+b），
整理，得：a+b=14，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=6}\end{array}\right.$、$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=8}\end{array}\right.$、$\left\{\begin{array}{l}{a=9}\\{b=5}\end{array}\right.$、$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=9}\end{array}\right.$，
经检验：86和95不符合题意，舍去，
∴所求两位数为68或59．

点评 本题主要考查因式分解的应用，根据题意表示出A、B两数的“立达数”、“诚勤数”及其变化是解题的关键．