Question

16、如图所示，C为线段AE上一动点（点C不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点Q，连接PQ．以下四个结论：①AD=BE；②AP=BQ；③DE=DP；④PQ∥AE．恒成立的有

①②④

（把你认为正确的序号都填上）．

Answer 1

分析：由△ABC和△CDE都是等边三角形，根据等边三角形的性质得到CB=CA，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，则∠BCD=60°，易证得△ACD≌△BCE，得到AD=BE；易证得△CAP≌△CBQ得到AP=BQ；于是有△CPQ为等边三角形，则∠CPQ=60°，得PQ∥AE；又DE=DC，∠DCP=60°，而∠CPD≠60°，得到DP≠DC，即DE≠DP．

解答：解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CB=CA，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，所以①正确；
∴∠CAP=∠CBQ，
∴△CAP≌△CBQ，
∴AP=BQ，所以②正确；
∴CP=CQ，
∴△CPQ为等边三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴PQ∥AE，所以④正确；
∵DE=DC，∠DCP=60°，而∠CPD≠60°，
∴DP≠DC，即DE≠DP，所以③错误．
故答案为①②④．

点评：本题考查了三角形全等的判定与性质．也考查了等边三角形的性质．