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已知抛物线y=
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ax2+ax+t
与x轴的一个交点为A(-1,0)
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式;
(3)E是第二象限内到x轴,y轴的距离的比为5:2的点,如果点E在(2)中的抛物线上,且它与点A在此抛物线对称轴的同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
分析:(1)本题需先根据y=
1
4
ax2+ax+t
的对称轴,又与x轴相交即可求出点B的坐标.
(2)本题需先根据已知条件得出C的纵坐标,再根据形ABCD的面积为9,得出C点的坐标,从而得出a的值,即可求出解析式.
(3)本题需先设出E点的坐标,再把它代入抛物线的解析式中求出m的值,然后求出点E关于直线x=-2对称点的坐标E′,最后求出AE′的解析式即可求出答案.
解答:解:(1)∵y=
1
4
ax2+ax+t
的对称轴为x=-2
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为:(-3,0)
(2)∵D为抛物线与y轴相交
∴D的纵坐标为t
∵CD∥AB
∴C的纵坐标也为t
∵梯形ABCD的高为t
∴S梯形ABCD=9
(CD+2)•t
2
=9

∴CD=
18-2t
t

∴点C的坐标为(
2t-18
t
,t)
1
4
2t-18
t
)2
2+
2t-18
t
+t=t
整理得:(2t-18)(6t-18)=0
∴t1=3,t2=9
∴a1=4,a2=12
∴抛物线的解析式为:y=x2+4x+3或y=3x2+12x+9
(3)当点E在抛物线y=x2+4x+3时
设E点的横坐标为-2m,则E的纵坐标为5m
把(-2m,5m)代入抛物线得:5m=(-2m)2+4×(-2m)+3
解得;m1=3,m2=
1
4

∴E的坐标为(-6,15)(舍去)或(-
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2
5
4

∴点E关于x=-2对称的点E′的坐标为(-
7
2
5
4

∴直线AE′的解析式为y=-
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2
x-
1
2

∴P的坐标为(-2,
1
2
点评:本题主要考查了二次函数的综合问题,在解题时要注意二次函数、一次函数知识相联系是解题的关键.
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下降
下降
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(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;
(2)设抛物线与x轴交于M(x1,0),N(x2,0)两点,且
1
x1
+
1
x2
=
2
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,求k的值.

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