Question

如图，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16．试问在△ABC内能否找到一点，使这点到各边的距离相等？如果能，请用尺规作图法作出这一点，再证明，并求出这个距离；如果不能．请说明理由。

Answer 1

解：能，作∠ABC和∠BAC的平分线，其交点为M，则点M到各边的距离相等；理由如下：作MD⊥AB，ME⊥AC，MF⊥BC，垂足分别为D，E，F， ∵BM是∠ABC的平分线，AM是∠BAC的平分线， ∴MD=MF，MD=ME（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等） 即MD=MF=ME． 连接CM，设MD=MF=ME=x， 在△ABC中， ∵AB=20，AC=12，BC=16， 而122+162=144+256=400=202， 即AC2+BC2=AB2， 则△ABC是直角三角形，且∠C=90°， ∴， 又S△ABC=S△ABM+S△BCM+S△ACM =（AB+BC+AC）x =×48x=24x， 则24x=96，x=4， ∴这个距离为4。