Question

11．已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为D（-2，-9），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B点坐标为（1，0）．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点P是第三象限内抛物线上的动点，求当△PCE面积最大时P点的坐标；
（3）在线段AC上是否存在这样的点Q，使得△AEQ为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线解析式为顶点式方程，然后将点D、B的坐标代入来求系数的值，从而得到该抛物线的解析式；
（2）设P（x，y），过点P作PF⊥y轴于点F．根据点的坐标与图形的性质得到相关线段的长度：OE=2，OC=5，PF=-x，OF=-y，利用三角形的面积公式、二次函数图象上点的坐标特征列出S关于x的二次函数，利用二次函数最值的求法得到点P的坐标；
（3）分三种情况进行讨论：
①当点Q位于AE的中垂线与AC的交点处时，△AEQ是等腰三角形；
②当AE=QE时，△AEQ是等腰三角形，Q点位于AC与抛物线对称轴的交点处；
③当AE=AQ时，△AEQ是等腰三角形，过点Q作QG⊥y轴于点G，通过解直角三角形来求线段OG的长度，从而得到点Q的坐标．

解答 解：（1）设该抛物线的解析式为y=a（x-h）²+k，将顶点坐标（-2，-9）代入得：
y=a（x+2）²-9．
把B（1，0）代入得：9a-9=0，a=1．
所以，该抛物线的解析式为y=（x+2）²-9，化为一般式为：y=x²+4x-5；

（2）设P（x，y），如图1，过点P作PF⊥y轴于点F．
∵E（-2，0），C（0，-5），
∴OE=2，OC=5，PF=-x，OF=-y．
设△PCE的面积为S，则
S=-$\frac{1}{2}$x（-y+5）+$\frac{1}{2}$y（-x-2）-$\frac{1}{2}$×2×5=-$\frac{5}{2}$x-y-5．
∵y=x²+4x-5，
∴S=-x²-$\frac{13}{2}$x．
当x=-$\frac{13}{4}$时，S最大，此时y=（-$\frac{13}{4}$）²+4×（-$\frac{13}{4}$）-5=-$\frac{119}{16}$，
∴当△PCE的面积最大时，P（-$\frac{13}{4}$，-$\frac{119}{16}$）；

（3）Q点存在，共有3个．
∵A（-5，0），C（0，-5），E（-2，0），
∴△AOC是等腰直角三角形，∠EAC=45°．
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）．易得直线AC的解析式为y=-x-5．
①当点Q位于AE的中垂线与AC的交点处时，△AEQ是等腰三角形，Q点的横坐标为-3.5，Q（-3.5，-1.5）；
②当AE=QE时，△AEQ是等腰三角形，Q点位于AC与抛物线对称轴的交点处，Q（-2，-3）；
③当AE=AQ时，△AEQ是等腰三角形，过点Q作QG⊥y轴于点G，易得QG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，则Q（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-5，-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值的求法，三角形的面积公式，等腰三角形的判定与性质．解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解，该题综合性比较强，难度较大．