Question

12．数学问题：在1～51这51个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于51，有多少中不同取法？
数学模型：为找到解决上面问题的方法，先建立简单的数学模型进行研究：
（1）在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同取法？
解决问题过程如下：

	1	2	3	4	5
1	（1，1）	（1，2）	（1，3）	（1，4）	（1，5）
2	（2，1）	（2，2）	（2，3）	（2，4）	（2，5）
3	（3，1）	（3，2）	（3，3）	（3，4）	（3，5）
4	（4，1）	（4，2）	（4，3）	（4，4）	（4，5）
5	（5，1）	（5，2）	（5，3）	（5，4）	（5，5）

第1行有1种取法（1，5）
第2行有2种取法（2，4），（2，5）
第3行有3种取法（3，3），（3，4），（3，5）
第4行有4种取法（4，2），（4，3），（4，4），（4，5）
第5行有5种取法（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）
共有1+2+3+4+5种取法，因为每次取两个不同的数，所以在这些取法中不包括（3，3），（4，4），（5，5），要从总数中减去这3中取法，并且（4，2）与（2，4），（4，3）与（3，4），（5，1）与（1，5），（5，2）与（2，5），…（5，4）与（4，5）是同一种取法，因此共有$\frac{1+2+3+4+5-\frac{5+1}{2}}{2}$=6种不同的取法．
（2）在1～6这6个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？
解决问题过程如下：

	1	2	3	4	5	6
1	（1，1）	（1，2）	（1，3）	（1，4）	（1，5）	（1，6）
2	（2，1）	（2，2）	（2，3）	（2，4）	（2，5）	（2，6）
3	（3，1）	（3，2）	（3，3）	（3，4）	（3，5）	（3，6）
4	（4，1）	（4，2）	（4，3）	（4，4）	（4，5）	（4，6）
5	（5，1）	（5，2）	（5，3）	（5，4）	（5，5）	（5，6）
6	（6，1）	（6，2）	（6，3）	（6，4）	（6，5）	（6，6）

第1行有1种取法（1，6）
第2行有2种取法（2，5），（2，6）
第3行有3种取法（3，4），（3，5），（3，6）
第4行有4种取法（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）
第5行有5种取法（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）
第6行有6种取法（6，1），（6，2），（6，3），6，4），（6，5），（6，6）
共有1+2+3+4+5+6种取法，因为每次取两个不同的数，所以在这些取法中不包括（4，4），（5，5），（6，6），要从总数中减去这3中取法，并且（4，3）与（3，4），（5，2）与（2，5），（5，3）与（3，5），（5，4）与（4，5），（6，1）与（1，6），（6，2）与（2，6）…（6，5）与（5，6）是同一种取法，因此共有$\frac{1+2+3+4+5+6-\frac{6}{2}}{2}$=9种不同的取法．
归纳探究：
仿照上述研究问题的思路和解决过程，回答下列提出的问题：
（1）在1～7这7个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于7，共有12种不同取法．（只填结果）
（2）在1～8这8个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于8，共有16种不同取法．（只填结果）
（3）在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，共有$\frac{{n}^{2}-1}{4}$种不同取法．（只填最简算式）
（4）在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，共有$\frac{{n}^{2}}{4}$种不同取法．（只填最简算式）
类比应用：类比上述研究方法或应用其结论，解决下列提出的问题：
（5）各边长都是整数，最大边长为51的三角形有多少个？（直接列出算术，并计算结果）

Answer 1

分析 （1）根据1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数相同方法列式计算可得；
（2）根据1～6这6个自然数中，每次取两个不同的数相同方法列式计算可得；
（3）n为奇数时可类比在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数相同方法列式化简可得；
（4）n为偶数时可类比在1～6这6个自然数中，每次取两个不同的数相同方法列式化简可得；
（5）根据三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则各边长都是整数，最大边长为51的三角形的个数是n为奇数时的取法再加上两边相等的$\frac{n+1}{2}$种取法，列式计算可得．

解答 解：（1）在1～7这7个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于7，共有$\frac{1+2+3+4+5+6+7-\frac{7+1}{2}}{2}$=12种不同取法；
（2）在1～8这8个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于8，共有$\frac{1+2+3+4+5+6+7+8-\frac{8}{2}}{2}$=16种不同取法；
（3）在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，共有$\frac{1+2+3+…+n-\frac{n+1}{2}}{2}$=$\frac{{n}^{2}-1}{4}$种不同取法；
（4）在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，共有$\frac{1+2+3+…+n-\frac{n}{2}}{2}$=$\frac{{n}^{2}}{4}$种不同取法；
（5）根据三角形三边关系，即相当于在1～51这51个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于51，
共有$\frac{5{1}^{2}-1}{4}$+$\frac{51+1}{2}$=676种不同取法，
故各边长都是整数，最大边长为51的三角形有676个．
故答案为：（1）12；（2）16；（3）$\frac{{n}^{2}-1}{4}$；（4）$\frac{{n}^{2}}{4}$．

点评 此题考查了一道数字规律的问题和三角形的三边关系，能够从特殊推广到一般．