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12.数学问题:在1~51这51个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于51,有多少中不同取法?
数学模型:为找到解决上面问题的方法,先建立简单的数学模型进行研究:
(1)在1~5这5个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于5,有多少种不同取法?
解决问题过程如下:
  1 2 3 4 5
 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
 4 (4,1)  (4,2) (4,3) (4,4)(4,5)
 5 (5,1)  (5,2) (5,3) (5,4)(5,5)
第1行有1种取法(1,5)
第2行有2种取法(2,4),(2,5)
第3行有3种取法(3,3),(3,4),(3,5)
第4行有4种取法(4,2),(4,3),(4,4),(4,5)
第5行有5种取法(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)
共有1+2+3+4+5种取法,因为每次取两个不同的数,所以在这些取法中不包括(3,3),(4,4),(5,5),要从总数中减去这3中取法,并且(4,2)与(2,4),(4,3)与(3,4),(5,1)与(1,5),(5,2)与(2,5),…(5,4)与(4,5)是同一种取法,因此共有$\frac{1+2+3+4+5-\frac{5+1}{2}}{2}$=6种不同的取法.
(2)在1~6这6个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于6,有多少种不同的取法?
解决问题过程如下:
  1 2 3 4 5 6
 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
第1行有1种取法(1,6)
第2行有2种取法(2,5),(2,6)
第3行有3种取法(3,4),(3,5),(3,6)
第4行有4种取法(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
第5行有5种取法(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
第6行有6种取法(6,1),(6,2),(6,3),6,4),(6,5),(6,6)
共有1+2+3+4+5+6种取法,因为每次取两个不同的数,所以在这些取法中不包括(4,4),(5,5),(6,6),要从总数中减去这3中取法,并且(4,3)与(3,4),(5,2)与(2,5),(5,3)与(3,5),(5,4)与(4,5),(6,1)与(1,6),(6,2)与(2,6)…(6,5)与(5,6)是同一种取法,因此共有$\frac{1+2+3+4+5+6-\frac{6}{2}}{2}$=9种不同的取法.
归纳探究:
仿照上述研究问题的思路和解决过程,回答下列提出的问题:
(1)在1~7这7个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于7,共有12种不同取法.(只填结果)
(2)在1~8这8个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于8,共有16种不同取法.(只填结果)
(3)在1~n(n为奇数)这n个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于n,共有$\frac{{n}^{2}-1}{4}$种不同取法.(只填最简算式)
(4)在1~n(n为偶数)这n个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于n,共有$\frac{{n}^{2}}{4}$种不同取法.(只填最简算式)
类比应用:类比上述研究方法或应用其结论,解决下列提出的问题:
(5)各边长都是整数,最大边长为51的三角形有多少个?(直接列出算术,并计算结果)

分析 (1)根据1~5这5个自然数中,每次取两个不同的数相同方法列式计算可得;
(2)根据1~6这6个自然数中,每次取两个不同的数相同方法列式计算可得;
(3)n为奇数时可类比在1~5这5个自然数中,每次取两个不同的数相同方法列式化简可得;
(4)n为偶数时可类比在1~6这6个自然数中,每次取两个不同的数相同方法列式化简可得;
(5)根据三角形三边关系,即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,则各边长都是整数,最大边长为51的三角形的个数是n为奇数时的取法再加上两边相等的$\frac{n+1}{2}$种取法,列式计算可得.

解答 解:(1)在1~7这7个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于7,共有$\frac{1+2+3+4+5+6+7-\frac{7+1}{2}}{2}$=12种不同取法;
(2)在1~8这8个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于8,共有$\frac{1+2+3+4+5+6+7+8-\frac{8}{2}}{2}$=16种不同取法;
(3)在1~n(n为奇数)这n个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于n,共有$\frac{1+2+3+…+n-\frac{n+1}{2}}{2}$=$\frac{{n}^{2}-1}{4}$种不同取法;
(4)在1~n(n为偶数)这n个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于n,共有$\frac{1+2+3+…+n-\frac{n}{2}}{2}$=$\frac{{n}^{2}}{4}$种不同取法;
(5)根据三角形三边关系,即相当于在1~51这51个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于51,
共有$\frac{5{1}^{2}-1}{4}$+$\frac{51+1}{2}$=676种不同取法,
故各边长都是整数,最大边长为51的三角形有676个.
故答案为:(1)12;(2)16;(3)$\frac{{n}^{2}-1}{4}$;(4)$\frac{{n}^{2}}{4}$.

点评 此题考查了一道数字规律的问题和三角形的三边关系,能够从特殊推广到一般.

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