Question

如图，P为圆外一点，PA切圆于A，PA=8，直线PCB交圆于C、B，且PC=4，连结AB、AC，∠ABC=α，∠ACB=β，则 =              .

Answer 1

解析考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
分析：过A作AD⊥BC于D，则得到三角形ABD和ACD为直角三角形，然后由角P为公共角，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到角CAP等于角B，由两组对应角相等得到两三角形相似，得到对应边成比例，根据锐角三角函数定义表示出sinα和sinβ的比值，将已知的PA和PC的长代入即可求出值．
：
解：作AD⊥BC于D．则sinα=，sinβ=，
∵∠P=∠P，∠CAP=∠B，
∴△ACP∽△BAP，∴=，又PA=8，PC=4，
则=÷===；
故答案是：．