Question

20．在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中CD交直线AP于点E．设∠PAB=α，∠ACE=β，∠AEC=γ．
（1）依题意补全图1；
（2）若α=15°，直接写出β和γ的度数；
（3）如图2，若60°＜α＜120°，
①判断α，β的数量关系并加以证明；
②请写出求γ大小的思路．（可以不写出计算结果）

Answer 1

分析 （1）由题意补全图形即可；
（2）利用对称的性质计算出∠DAP，再利用等边三角形的性质，利用三角形的内角和计算即可；
（3）先判断出，点B，C，D，在以A为圆心的圆上，再利用圆周角的特点计算即可．

解答 解：（1）补全图形，如图1所示，

（2）∵点B关于直线AP的对称点为D，
∴∠DAP=∠BAP=15°，AD=AC
∴∠DAB=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAC=90°，
∴β=∠ACE=∠ADE=45°，
∵∠BAP=15°，∠BAC=60°，
∴γ=∠AEC=180°-（∠BAP+∠BAC）-∠ACE=60°；
（3）①α=β+60°；
理由如下：

∵点D与点B关于直线AP对称，
∴AD=AB，∠PAD=∠PAB=α，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AB=AC，
∴AD=AB=AC，
∴点B，C，D，在以A为圆心的圆上，
∴∠BAD=2∠BCD，
∵∠BAD=∠PAD+∠PAB=2α，
∠BCD=∠ACE+∠BCA=β+60°，
∴2α=2（β+60°），
∴α=β+60°；
②由②知，∠PAB=∠BCD，
∴A，B，C，E四点共圆，
∴∠AEC+∠ABC=180°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠AEC=180°-∠ABC=120°
∴γ=∠AEC=120°．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了对称的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质圆周角的性质，得到点B，C，D，在以A为圆心的圆上作出辅助线是解本题的关键，判断A，B，C，E四点共圆是本题的难点．