Question

14．在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点$\stackrel{•}{O}$．对于两个不同的点M和N，若点M、点N到点$\stackrel{•}{O}$的距离相等，则称点M与点N互为基准变换点．例如：图1中，点M表示数-1，点N表示数3，它们与基准点$\stackrel{•}{O}$的距离都是2个单位长度，点M与点N互为基准变换点．
（1）已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为基准变换点．
①若a=0，则b=2；若a=4，则b=-2；
②用含a的式子表示b，则b=2-a；
（2）对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以$\frac{5}{2}$，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动3个单位长度得到点B．若点A与点B互为基准变换点，则点A表示的数是$\frac{10}{7}$；
（3）点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为8个单位长度．对P、Q两点做如下操作：点P沿数轴向右移动k（k＞0）个单位长度得到P₁，P₂为P₁的基准变换点，点P₂沿数轴向右移动k个单位长度得到P₃，P₄为P₃的基准变换点，…，依此顺序不断地重复，得到P₅，P₆，…，P_n．Q₁为Q的基准变换点，将数轴沿原点对折后Q₁的落点为Q₂，Q₃为Q₂的基准变换点，将数轴沿原点对折后Q₃的落点为Q₄，…，依此顺序不断地重复，得到Q₅，Q₆，…，Q_n．若无论k为何值，P_n与Q_n两点间的距离都是4，则n=4或12．

Answer 1

分析 （1）①根据互为基准变换点的定义可得出a+b=2，代入数据即可得出结论；②根据a+b=2，变换后即可得出结论；
（2）设点A表示的数为x，根据点A的运动找出点B，结合互为基准变换点的定义即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）根据点P_n与点Q_n的变化找出变化规律“P_4n=m、Q_4n=m+8-4n”，再根据两点间的距离公式即可得出关于n的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．

解答 解：（1）①∵点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为基准变换点，
∵a+b=2．
当a=0时，b=2；当a=4时，b=-2．
故答案为：2；-2．
②∵a+b=2，
∴b=2-a．
故答案为：2-a．
（2）设点A表示的数为x，
根据题意得：$\frac{5}{2}$x-3+x=2，
解得：x=$\frac{10}{7}$．
故答案为：$\frac{10}{7}$．
（3）设点P表示的数为m，则点Q表示的数为m+8，
由题意可知：P₁表示的数为m+k，P₂表示的数为2-（m+k），P₃表示的数为2-m，P₄表示的数为m，P₅表示的数为m+k，…，
Q₁表示的数为-m-6，Q₂表示的数为m+6，Q₃表示的数为-m-4，Q₄表示的数为m+4，Q₅表示的数为-m-2，Q₆表示的数为m+2，…，
∴P_4n=m，Q_4n=m+8-4n．
令|m-（m+8-4n）|=4，即|8-4n|=4，
解得：4n=4或4n=12．
故答案为：4或12．

点评 本题考查了规律型中图形的变化类、数轴以及解一元一次方程，根据互为基准变换点的定义找出a+b=2是解题的关键．