Question

如图，E、F、G分别是正方形ABCD的边AB、BC、DA的中点，直线BC上有一点H，点H的位置改变时，正方形EHMN也随之整体移动，连接GN．
（1）如图①，当H在CB的延长线上时，请你判断HF与NG的数量关系，（请直接写出结论，不必证明或说明理由）
（2）如图②，当H在BC边上，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立，若成立请证明，若不成立说明理由
（3）当H在BC的延长线上，请在图③中画出图形，（1）中的结论是否成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）如图1，连接EG、EF，根据正方形的性质及等式的性质就可以得出△AEG≌△BEF，进而求得△EFH≌△ENG，就可以得出HF=NG；
（2）如图2，连接EG、EF，根据正方形的性质及等式的性质就可以得出△AEG≌△BEF，进而求得△EFH≌△ENG，就可以得出HF=NG；
（3）如图3，连接EG、EF，根据正方形的性质及等式的性质就可以得出△AEG≌△BEF，进而求得△EFH≌△ENG，就可以得出HF=NG．

解答：解：（1）HF=NG．
理由：如图1，连接EG、EF，
∵四边形ABCD和四边形EHMN都是正方形，
∴AB=BC=AD，EH=EN，∠A=∠HEN=90°．
∵E、F、G分别是正方形ABCD的边AB、BC、DA的中点，
∴AG=

1

2

AD，AE=EB=

1

2

AB，BF=

1

2

BC，
∴AG=AE=EB=BF，
∴∠AEG=∠BEF=45°，
∴∠GEF=90°，
∴∠GEF=∠HEN，
∴∠GEF-∠NEF=∠HEN-∠NEF，
∴∠HEF=∠NEG．
在△AEG和△BEF中，

AE=BE ∠A=∠HEN AG=BF

，
∴△AEG≌△BEF（SAS），
∴EG=EF．
在△EFH和△ENG中，

EF=EG ∠HEF=∠NEG HE=NE

，
∴△EFH≌△ENG（SAS）
∴HF=NG；

（2）HF=NG成立
理由：如图2，连接EG、EF，
∵四边形ABCD和四边形EHMN都是正方形，
∴AB=BC=AD，EH=EN，∠A=∠HEN=90°．
∵E、F、G分别是正方形ABCD的边AB、BC、DA的中点，
∴AG=

1

2

AD，AE=EB=

1

2

AB，BF=

1

2

BC，
∴AG=AE=EB=BF，
∴∠AEG=∠BEF=45°，
∴∠GEF=90°，
∴∠GEF=∠HEN，
∴∠GEF-∠NEF=∠HEN-∠NEF，
∴∠HEF=∠NEG．
在△AEG和△BEF中

AE=BE ∠A=∠HEN AG=BF

∴△AEG≌△BEF（SAS），
∴EG=EF．
在△EFH和△ENG中，

EF=EG ∠HEF=∠NEG HE=NE

，
∴△EFH≌△ENG（SAS）
∴HF=NG；

（3）HF=NG成立
理由：如图3，连接EG、EF，
∵四边形ABCD和四边形EHMN都是正方形，
∴AB=BC=AD，EH=EN，∠A=∠HEN=90°．
∵E、F、G分别是正方形ABCD的边AB、BC、DA的中点，
∴AG=

1

2

AD，AE=EB=

1

2

AB，BF=

1

2

BC，
∴AG=AE=EB=BF，
∴∠AEG=∠BEF=45°，
∴∠GEF=90°，
∴∠GEF=∠HEN，
∴∠GEF-∠NEF=∠HEN-∠NEF，
∴∠HEF=∠NEG．
在△AEG和△BEF中，

AE=BE ∠A=∠HEN AG=BF

，
∴△AEG≌△BEF（SAS），
∴EG=EF．
在△EFH和△ENG中，

EF=EG ∠HEF=∠NEG HE=NE

，
∴△EFH≌△ENG（SAS）
∴HF=NG．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中点的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．