Question

如图，在△ABC中，点E是AB的中点，EF∥BC且交AC于点F，求证：EF是△ABC的中位线．

Answer 1

考点：三角形中位线定理

专题：证明题

分析：过点B作BG∥CF交FE的延长线于G，判断出四边形BCFG是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得BG=CF，根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠EBG，再利用“边角边”证明△AEF和△BEG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=AF，从而得到AF=CF，再根据三角形的中位线的定义证明．

解答：证明：如图，过点B作BG∥CF交FE的延长线于G，
∵EF∥BC，
∴四边形BCFG是平行四边形，
∴BG=CF，
∴BG∥CF，
∴∠A=∠EBG，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEF和△BEG中，

∠A=∠EBG AE=BE ∠AEF=∠BEG

，
∴△AEF≌△BEG（ASA），
∴BG=AF，
∴AF=CF，
又∵点E是AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线．

点评：本题考查了三角形的中位线的证明，关键在于证明AF=CF，作辅助线构造成平行四边形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．