Question

5．如图，已知△ABC，D为AB边上一点，∠BDC=∠ACB，过点D作直线DF．
（1）若DF∥AC，判断∠FDA与∠BCD之间存在的数量关系，并证明；
（2）若将直线DF绕这点D旋转（不含与AB，CD重合的情况），交射线CA于点H，判断∠ADH，∠AHD，∠BCD之间存在的数量关系并证明．

Answer 1

分析 （1）根据DF∥AC，得到∠CDE=∠ACD，由∠BDC=∠ACB，得到∠BDE=∠BCD，根据对顶角相等得到∠FDA=∠BDE，所以∠FDA=∠BCD．
（2）分两种情况，分别画出图形，利用三角形的内角和与外角的性质即可解答．

解答 解：（1）如图1，

∵DF∥AC，
∴∠CDE=∠ACD，
∵∠BDC=∠ACB，
∴∠BDE+∠CDE=∠ACD+BCD，
∴∠BDE=∠BCD，
∵∠FDA=∠BDE，
∴∠FDA=∠BCD．
（2）当DF交AC于点H时，如图2，

在△BDC中，∠B+∠BDC+∠BCD=180°，
在△ABC中，∠B+∠ACB+∠A=180°，
∵∠BDC=∠ACB，
∴∠A=∠BCD，
∵在△ADH中，∠A+∠ADH+∠AHD=180°，
∴∠BCD+∠ADH+∠AHD=180°．
当DF交射线CA与点H时，如图3，

∵∠BAC=∠ADH+∠AHD（外角的性质），∠BAC=∠BCD，
∴∠BCD=∠ADH+∠AHD．

点评 本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，外角的性质，在（2）中，分两种情况画出图形是解决本题的关键．